初中数学2次根式√[1/(a-b)(a-b)+1/(b-c)(b-c)+1/(c-a)(c-a)]

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/07 03:53:37
已知a,b,c是两两互不相等的有理数,求证:√[(1/(a-b)(a-b)+1/(b-c)(b-c)+1/(c-a)(c-a)]是有理数.

注:1/(a-b)(a-b)就是(a-b)的平方分之一

(1/（a-b）+1/(b-c)+1/(c-a))^2
=1/(a-b)^2+1/(b-c)^2+1/(c-a)^2+2(1/(a-b)(b-c)+1/(a-b)(c-a)+1/(b-c)(c-a))

单独分析后面的项
1/(a-b)(b-c)+1/(a-b)(c-a)+1/(b-c)(c-a)
=（c-a+b-c+a-b）/(a-b)(b-c)(c-a)
=0
所以
(1/（a-b）+1/(b-c)+1/(c-a))^2
=1/(a-b)^2+1/(b-c)^2+1/(c-a)^2
所以所求根式
√[(1/(a-b)(a-b)+1/(b-c)(b-c)+1/(c-a)(c-a)]
=√（(1/（a-b）+1/(b-c)+1/(c-a))^2）
=1/（a-b）+1/(b-c)+1/(c-a)

根据题目意思，a,b,c互不相等，所以1/（a-b）+1/(b-c)+1/(c-a)为有理数，所以原式也为有理数。

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